Shell theorem을 이용한 물리1 기말고사 10번 문제의 풀이

Author: Park si hyeong

Date: June 22, 2024 10:35 PM

Topic: 물리1 기말고사 10번


목차

  1. Shell theorem이란?
  2. SHM 증명
  3. 주기를 주어진 변수들로 표현하기



Shell theorem(구각정리)

우리는 만유인력 법칙을 배웠으나 이것은 두 질점 사이의 힘만을 나타내며, 부피가 있는 물체의 경우 각 질점에 대한 만유인력을 모두 생각해야 한다는 한계가 있다. 구각정리는 구를 껍질로 나눠 각 껍질에 의한 만유인력의 합으로 전체 만유인력을 구하는 방식이다.

https://www.math.ksu.edu/~dbski/writings/shell.pdf 논문을 참고해주세요.



Shell에 의한 중력장 구하기

Shell에 의한 중력장을 구하기 위해서는 Ring에 대한 중력장을 구하여 적분해야 한다.

\(\sigma\)는 Ring의 선밀도이며, Mass of Ring은 선밀도\(\times\)Ring의 길이이므로

Total mass of Ring=\(\frac1{2}Msin\phi d\phi\) (여기서 M은 Ring의 질량이다.)

Ring으로부터의 거리는 s이지만, 그림에서의 수직방향 벡터는 대칭에 의해 상쇄되므로


$$ dE_{shell}=E_{ring}=\frac {GMcos\theta sin\phi d\phi}{2s^2}=-\frac {GMcos\theta cos\phi}{2s^2} $$


cos법칙에 의해


\[cos\theta=\frac{s^2+r^2-R^2}{2rs}, \ cos\phi=\frac{R^2+r^2-s^2}{2Rr}\]


\[\therefore-d(cos\phi)=\frac{s}{Rr}ds\]


그러므로 \(dE_{shell}\)을 \(ds\)로 정리할 수 있으며, \(E_{shell}\)은 다음과 같다.


\[E_{shell}=\int_{s=r-R}^{s=r+R}dE_{shell}=\frac{GM}{r^2}\]


또한, 적분 구간을 바꿔 shell 내부의 중력장을 구하면 0이 나온다.



구에 의한 중력장 구하기

이 shell에 대한 중력장에 적분을 취하면 구에 의한 총 중력장이 나오게 된다. 구의 밀도 \(\mu\)는 다음과 같다.


\[\mu=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\]


(이때 \(M\)은 구의 전체 질량이다.)

반지름이 \(\rho\)인 shell을 생각하자. 그렇다면 그것의 국소질량 \(dM\)은 다음과 같다.


\[dM=4\pi\rho^2\mu d\rho\]


중력장 공식에 의해 \(E_{total}\)은 다음과 같다.(앞으로 편하게 \(E\)라고 하겠다)


\[dE=\frac{3GM\rho^2}{r^2R^3}d\rho,\]


\[\therefore E=\int_0^RdE=\frac{GM}{r^2}\]


\(r<R\) 임을 가정하면 \(E\)는 다음과 같다.


\[E=\int_0^rdE=\frac{GMr^3}{r^2R^3}=\frac{GMr}{R^3}\]


\[\therefore E\propto r (0<r<R)\]


이는 밀도가 균일한 구 내부에서는 깊이에 비례하여 중력이 약해짐을 뜻한다.



단진동(Simple Harmonic Motion) 여부 확인

단진동은 \(a\)가 \(x\)에 대해 선형이어야 한다. 문제 10번의 경우 물체의 질량을 m, 초기각을 \(\phi\), 평형점을 \(Q\), 물체의 위치를 \(P\), 중심을 \(O\)라 하고, 선분 \(O\)\(Q\)를 기준으로 시계방향으로의 각 \(P\)\(O\)\(Q\)를 \(\theta\)라 하면


\[r=\frac{Rcos\phi}{cos\theta}(-\phi<\theta<\phi)\]


Shell theorem에 의해, \(r\)에서의 단진동 방향 중력은 다음과 같다.


$$ F=\frac{GMmr}{R^3}=\frac{GMm}{R^3}\times\frac{Rcos\phi}{cos\theta}\times sin\theta\\=\frac{GMm}{R^2}\times cos\phi tan\theta $$


한편, 단진동에서의 물체의 위치 \(x\)는 다음과 같다.


\[x=Rcos\phi tan\theta\]


즉, \(F\)가 \(r\)에 대해 선형이므로, 문제 10번의 물체는 단진동한다.■



주기를 주어진 변수들로 표현하기


\[F=\frac{GMm}{R^2}\times cos\phi tan\theta\]
\[x=Rcos\phi tan\theta\]


단진동 공식 \(a=\omega^2x\) 에 의해


\[\omega^2=\frac{GM}{R^4}\]
\[\therefore T=\frac{2\pi}{\omega}=\sqrt{\frac{2\pi R^4}{GM}}\]


한편, 지구의 밀도 \(\rho\)는 다음과 같다.


\[\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}\]
\[\therefore T=\sqrt{\frac{3\pi R}{2\rho G}}\]


이로써 Shell theorem을 이용하여 문제에 주어진 변수들로 단진동 주기를 나타내었다.■